Если запустить две частицы со скоростью света в противоположные стороны, какая их скорость относительно друг друга?

Воспользуйтесь формулой сложения скоростей из релятивистской механики.
v=(v1+v2)/(1+v1*v2/c^2)
Впрочем могу сделать это за Вас.
Если v1=v2=c ( скорость света) получаем:
v=(c+c)/(1+ c*c/c^2)=2c /2=c
Итак их взаимная скорость всё та же скорость света.
Впрочем замечу, что невозможно разогнать никакими средствами ни одну частицу имеющую массу покоя до скорости света, на это пришлось бы затратить бесконечную энергию. Хотя с другой стороны есть частицы и так движущие со скоростью света, это фотоны. Вот значит фотоны двух направленных в противоположные стороны лучей света имеют скорость света не только относительно точки из которой эти лучи испустили, но и друг относительно друга.

Именно так складываются скорости. Это нам имеющим дело со скоростями много меньше световой обычно такое незаметно, ведь когда скорость много меньше скорости света стоящее под дробью выражение (1+v1*v2/c^2) стремится к единице, так как его часть v1*v2/c^2 при этом очень и очень мала. Например когда скорость каждого объекта метр в секунду ( 3,6 км /ч, чуть медленнее скорости пешехода ) это выражение будет:
(1+1)/90000000000000000=1,0000000000000000111111111111111.( считая что скорость света 300 000 000 м/с, на самом деле она около 299790 000 м/с )
Взаимная скорость таких объектов (1+1)/1,0000000000000000111111111111111=1,999999999999999977777777777778 .
Как видите весьма мало отличается от 2 м/с, как мы привыкли считать. Вы вряд ли в домашних условиях сможете обнаружить столь малое расхождение.

Вот почему так происходит, тут описывать мне определенно места не хватит. Впрочем есть немало популярных книг на эту тему, да и в учебнике физике, насколько помню это излагается. В самом общем виде причина в том, что скорость света не зависит от системы отсчета ( инерциальной) и является предельной скоростью.