На боковых гранях куба расставлены натуральные числа, а в каждой вершине написано число,

сумма чисел на гранях равна 14

обзовем натуральные числа: a, b, c, d, e, f,
тогда из них получим следующие произведения:
bef, bcf, cdf, edf, abe, abc, adc, ade, а их сумма = 70,
тогда (bef + bcf + cdf + edf) + (abe + abc + adc + ade) = 70
(bf(e + c) + fd(c + e)) + (ab(e + c) + da(c + e)) = 70
((e + c) (bf + fd)) + ((e + c) (ab + da)) = 70
f(e + c) (b + d) + a(e + c) (b + d) = 70
(e + c) (b + d) (f + a) = 70,
так как все числа были натуральные, то и их сумма натуральное число вероятно, ну уж точно целое, тогда
70 = 2 х 5 х 7 = 1 х 2 х 35
получаем два варианта:
1)
(e + c) = 1, следовательно 0 + 1 = 1, а 0 - не натуральное число
(b + d) = 2
(f + a) = 35,

2) и правильный
(e + c) = 2
(b + d) = 5
(f + a) = 7,
и сумма (e + c + b + d + f + a) = 2 + 5 + 7 = 14