Мне сказали спешить не спеша. А что лучше спешить или торопиться? Есть ли разница, если да, то в чём?

главное - не опаздывать!

Разницы нет. Можно спешить внешне, сохраняя внутреннее спокойствие. Не надо суетиться, а то присоединится нервозность.

"Толковый словарь русского языка" (С. И. Ожегов, Н. Ю. Шведова) даёт такие определения этим двум словам:
"СПЕШИТЬ -шу, -шйшь; несов. 1. Стараться сделать что-н. , попасть куда-н. как можно скорее, торопиться. Спешу рассказать. С. с окончанием работы. С. на помощь. С. на поезд. Не нужно с. Делать адяо-н. не спеша (медленно, размеренно) . Спешите медленно (шутл. совет) . 2. (1 и. 2 л. не употр.) . О часах: показывать более позднее время, чем в действительности, из-за убыстренного хода механизма. Часы спешат на десять минут. || сов. поспешить, -шу, -шишь (к 1 знач.) . Поспешишь - людей насмешишь (поел.) . || сущ. спешка, -и, ж. (к 1 знач. ; разг.) . В спешке забыл взять книгу.
ТОРОПИТЬСЯ -оплюсь, -опишься; несов. , с чем и с неопр. То же, что спешить (в 1 знач.) . Г. на поезд. Т. с выполнением задания (выполнить задание) . || сов. поторопиться, -оплюсь, -опишься. "
Ссылка: http://ak.ak22.net/dict/
Поэтому, можно сделать вывод, что разницы никакой нет.

По смыслу, кажется, разницы нет. Но есть нюанс в стилистической окраске. По-моему, слово "спешить" употребляется чаще в письменной, церемонной речи, а "торопиться" - в разговорной, в более непринужденной.