Помогоите,пожалуйста,задача по дифференциальным уравнениям
Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.
У меня есть предположение,как можно раешить эту задачу,но неуверена.Знаю,что ответ должен получится-0,32м/с.Заранее спасибо.
Скорость - функция от времени v(t).
Обозначим момент выключения двигателя через t0.
После выключения двигателя на лодку действует только сила сопротивления воды, а значит ускорение пропорционально силе сопротивления (с коеф. равным массе, но это неважно так как масса не меняется) .
Ускорение в каждый момент времени равно производной скорости по времени.
В итоге получаем диф. уравнение:
v'(t)=c*v(t) (лучше "с" обозначить через "-k" так как с увеличением скорости сила сопротивления растет, т. е. коэфициент должен быть отрицательным. Но не обязательно. )
Решая (в общем случае в таких уравнениях нужно разделять переменные, но можно и подобрать функцию) находим
v(t)=(A*e) в степени (-k*t). Из начального условия (подставив t=0 и v=5) находим что А=5.
Тогда v(t)=(5e) в степени (-k*t). Если в эту формулу подставить t=40, v=2, найдем k= (-ln(2/5))/40. Подставив k в формулу, получим окончательную зависимость скорости от времени. Откуда при t=120 (секунд! ) получим ответ.
а решить полностью нельзя, просто я не понимаю ничего в математике