Доказать, что ни при каком натуральном...

Question

Доказать, что ни при каком натуральном...

Mia Mo Ученик (244), закрыт 8 лет назад

Доказать, что ни при каком натуральном n число 1+2+...+n не может заканчиваться на 2,4,7,9.

Answer 1

1+2+...+n=(1+n)*n/2
Пусть n заканчивается на 0, тогда n/2 - заканчивается на 5 или на 0, а (1+n) - на 1, перемножаем получаем, что число заканчивается на 5 или на 0.
Пусть n заканчивается на 1, тогда (1+n)/2 - заканчивается на 6 или на 1, перемножаем получаем, что число заканчивается на 6 или на 1.
Пусть n заканчивается на 3, тогда ...-тут сам
Пусть n заканчивается на 4, тогда ...-тут сам
Пусть n заканчивается на 5, тогда ...-тут сам
Пусть n заканчивается на 6, тогда ...-тут сам
Пусть n заканчивается на 7, тогда ...-тут сам
Пусть n заканчивается на 8, тогда ...-тут сам
Пусть n заканчивается на 9, тогда (1+n)/2 - заканчивается на 5 или на 0, перемножаем получаем, что число заканчивается на 5 или на 0.

Answer 2

Остатки при делении (n^2+n) на 10 равны 0,2 или 6 (перебираем все 10 вариантов остатков).

Отсюда остатки при делении (n^2+n)/2 на 10 равны 0,1,3 или 5,6,8. Указанных в задаче нет.

Конец доказательства.