Как правильно говорить (произносить) на русском Виргиния или Вирджиния (штат США)?

Произносить надо так, как повелось и закрепилось в русском языке, то есть "Вирджиния". Кстати, и по-английски произносится так же, но не в этом причина. Произношение иностранных слов в любом языке, в том числе и в русском, следует установившейся традиции. Иногда эта традиция совпадает с произношением слова в "исходном" языке, как в случае с Вирджинией, но далеко не всегда. Чаще всего искажения связаны с переносом ударения -- чтобы на "принимающем" языке было удобнее произносить. Скажем, мы говорим ФлорИда, хотя на английском -- ФлОрида, ВашингтОн -- хотя на английском уОшингтэн, РокфЕллер вместо рОкфеллер, ну и т. д. и т. п. Иногда иностранное слово получает произношение "по буквам", хотя на самом деле оно произносится иначе, например, ЛОндон вместо лАнден, Каролина вместо кЭролАйна. Иногда, произношение следует "общим" правилам иностранного языка, хотя на самом деле иностранное слово нарушает эти правила. Например, мы говорим Чикаго (потому что пишется Chicago, а ch в английском читается обычно как ч), но американцы произносят шикаго. То же самое: МичигАн -- мИшиган, АрканзАс -- Аркансо, и так далее. Наконец, произношение "старых" иностранных слов может отличаться от оригинала почти до неузнаваемости: Рим -- РОма, Париж -- Пари, и есть еще более крутые примеры, просто сразу в голову не приходит.