Можно ли заселиться в номер Пансионата или Санатория с котом?

Если в пансионате есть услуга "проживание с животными", то можно, уточните у них.

Надо у администрации спросить. Но я думаю, что не разрешат.

Смотря что за санаторий, в некоторые можно.

Если в номере санатория/пансионата будет отдельный выход на улицу, или отдыхающих заселяют в одноместные домики, то можно

Нет скорее всего!

Если корпус санатория общий - то навряд ли.

В санатории скотом ни заселяться, ни оставаться - администрация не рекомендует.