берег словарное слово или нет

Нет

нет

Ну если ссылаться на такой малоизвестный источник, как Толковый словарь Даля. — 1863—1866, то слово "берег" таки словарное :)
Дабавляем опосля, как и в вопросе новые данные))
является словарным и к нему невозможно подобрать однокоренное проверочное слово.
На вторую же букву "Е" проверочными будут слова: берега, прибрежный

нет