Правильно ли я понимаю употребление Half+the, The+half и Half a.

Half+the обозначает половину определённого количества или числа: half the distance - половина расстояния, half the price - половина цены...
The+half употребляется при оценке качества определенного предмета. Показывает качество определенного предмета, объекта, обычно имеющего ограничивающее определение:
The half bottle we drank was delicious.
Half a употребляется с существительными меры: half a kilometre – полкилометра, half a kilogram – полкило, half an hour – полчаса. Обозначает половину какого-либо количества half an apple

В каких случаях будет употребляться a half?
Правильно я расставила артикли со словом apple «Я могу угостить тебя половиной яблока (half an apple)». Возьми половину яблока ( half the apple)?