Если в точке максимума функция дифференцируема, то в этой точке производная функции...

2) равна нулю;

Наверное ошибся....

Определения

Пусть дана функция f\colon M\subset \R \to \R, и x_0\in M — внутренняя точка области определения f. Тогда f называется дифференци́руемой в x0, если существует окрестность U(x_0) \ni x_0 и число A \in \mathbb{R} такие, что в этой окрестности для f справедливо представление
f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0),\quad x \in U(x_0),
где o(x − x0) обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с x − x0 при x \to x_0. Если f дифференцируема в x0, пишут f \in \mathcal{D}(x_0).
Линейное отображение l(h) = Ah,\; h \in \R, где A — константа из предыдущего определения, называется дифференциа́лом функции f в точке x0 и обозначается df(x0).
Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке M(x;y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
Δz = AΔx + BΔy + αΔx + βΔy,

где \alpha = \alpha (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0 и \beta = \beta (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0 при \Delta x \rightarrow 0,\Delta y \rightarrow 0

Свойства

Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того
f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0)\Leftrightarrow f'(x_0) = A.
Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть
f \in \mathcal{D}(x_0)\Rightarrow f \in C(x_0).