Почему тригонометрическая функция не дифференцируется в точке разрыва?

У тригонометрических функций синус и косинус нет точек разрыва - они всюду непрерывны и всюду дифференцируемы.
У тангенса и котангенса есть множество точек разрыва. Но в этих точках не определены сами функции (иначе говоря, они непрерывны в каждой точке своей области определения). Поскольку в точках разрыва нет значений функций, то и говорить о их дифференцируемости в этих точках не имеет смысла.