Что такое детерминант (у?) матрицы? Например, "определитель матрицы А равен detA=-1". Что это значит?

Определи́тель (determinant или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры.
Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.
То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, — определитель равен нулю.
Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.
В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).