Как рассказать о матрице по математике, чтоб было понятно преподователю?

Определитель (или детерминант) — одно из основных понятий линейной алгебры.

Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.

То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, — определитель равен нулю.

Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.

В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель вычисляется как разница между главной и побочной диагоналями.

Свойства определителей:
* Определитель — полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по каждой строке (по каждому столбцу).
* Определитель — кососимметрическая функция строк (столбцов) матрицы (другими словами, если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (−1).)
* При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится. (Следствие кососимметричности и полилинейности.)
* Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю. (Следствие кососимметричности.)
* Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
* Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя.
* Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
* Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
* Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
* Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (см. также формулу Бине-Коши). В частности, определители подобных матриц равны.
* С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита.
* Определитель квадратной матрицы 3×3 равен ориентированному объему параллелепипеда, три ребра которого заданы векторами-столбцами матрицы.
* Определитель матрицы равен произведению её собственных значений.
* Если квадратная матрица выражает линейное преобразование, то её определитель не меняется при замене базиса линейного пространства.

Прямые методы вычисления определителя могут быть основаны непосредственно на его определении, как суммы по перестановкам, или на разложении Лапласа по определителям меньшего порядка. Однако такие методы очень неэффективны, так как требуют О (n!) операций для вычисления определителя n-го порядка.

Один из более быстрых методов заключается в простой модификации метода Гаусса. Следуя методу Гаусса, произвольную матрицу A можно привести к ступенчатому виду (Верхнетреугольная матрица), используя лишь две следующие операции над матрицей — перестановку двух строк и добавление к одной из строк матрицы другой строки, умноженной на произвольное число. Из свойств определителя следует, что вторая операция не изменяет определителя матрицы, а первая лишь меняет его знак на противоположный. Определитель матрицы, приведённой к ступенчатому виду, равен произведению элементов на её диагонали, так как она является треугольной.

По моему, все очень просто, наглядно и понятно.