В слове БЕЧЕВА́ в современном языке выделяется корень БЕЧЕВ-. Обе гласные в нём безударные.
Вторую гласную можно проверить однокоренным словом БЕЧЁВКА, в котором на месте безударной Е (бечева́) после шипящего пишется Ё, согласно правилу: под ударением в корнях после шипящих пишем Ё, если есть проверочное слово с Е, а оно есть: слово БЕЧЕВА́ никак не напишешь с О после Ч. Так что слова БЕЧЕВА́ и БЕЧЁВКА по отношению друг к другу являются одновременно и проверяемыми, и проверочными по разным правилам:
► правописание проверяемой безударной гласной в корне слова;
► гласные О и Ё после шипящих в корнях слов.

Гласная Е в первом слоге непроверяемая, её мы запоминаем.
Происхождение существительного БЕЧЕВА́ связано с тюркским словом БЕК (верёвка, шнур), когда-то было прилагательное БЕЧЕВОЙ (чередование К//Ч), а БЕЧЕВА́ – одна из его кратких форм (форма женского рода). Прилагательное БЕЧЕВО́Й в современном русской языке не употребляется, а его краткая форма навсегда распрощалась со своими сородичами и стала существительным. Так что слова БЕЧЕВА́ и БЕК являются историческими родственниками и слово БЕК может помочь нам сделать верный выбор гласной в слове БЕЧЕВА́.

Иллюстративный материал из Интернета.