Как пишется правильно, за чем или зачем?

2

за чем и зачем. смотря какая форма

Вместе (или слитно).

И так, и так, смотря в каком значении. Если имеется ввиду "по какому поводу", то - ЗАЧЕМ. А если "за каким предметом" - то ЗА ЧЕМ. Важно не путать)