"Хозяйка наскоро (в) била его снова вглубь" Какой частью речи является слово "(в) била" и пишется слитно или раздельно ?

Конечно же это глагол. Вбить ( что сделать?) Вообще, давайте подумаем логически.
Если "в" предлог и пишется раздельно, то получается, что хозяйка что -то куда-то сделала, например, прыгнула в била! Естественно, получается околесина.
Следовательно, "в" - не предлог, тогда остается только, что это приставка, а, значит, "в" пишется слитно.