Подходит ли внешняя вспышка YongNuo Speedlite YN-565EX для камеры NIkon D 5200?Будут ли работать все функции на вспышке?

подходит. будут

в названии обязательно должна быть приписка "for Nikon",
например YongNuo Speedlite YN-565EX for Nikon,
а без этой приписки - вы покупаете кота в мешке.
если ваша вспышка "for Nikon" - то c D5200 работать будет.

есть китайский аналог Triopo TR-586EX, на 4 тыс (в два раза) дешевле этой (сам заказал недавно, жду когда привезут)

а YongNuo работает как хочет)))) думаю синхронизировать 100% с камерой можно только ласковыми китайскими словами) я их не знала )

всё сработает

Да, подойдёт. Да, работать будут.
Однако, она должна быть предназначена конкретно для твой камеры.
Как та, что я купил для своей Nikon D5100,:
http://ru.aliexpress.com/item/Yongnuo-YN-565EX-ITTL-Flash-Speedlite-Speedlight-YN565EX-for-Nikon-D800-D700-D600-D7000-D90-D80/943217533.html
В её названии перечислены все совместимые модели.
"Yongnuo YN-565EX ITTL flash-speedlite флэш-вспышки YN565EX для Nikon D800 D700 D600 D7000 D90 D80 D5200 D5100 D5000 D3100 D3000"

Почитайте, с какими моделями камер совместима эта вспышка, и обязательно должно быть написано for Nikon.