Почему Пекин пишется Пекин? Ведь по-английски он пишется Бейджинг (Beijing)

а почему по-русски пишется Москва, а по-английски Moscow (Москоу)? Разные языки имеют разный фонетический ряд и произношение, которое затем фиксируется в соотвествии с правилами чтения и орфографии данного языка

в России, Португалии, Нидерландах и пр. используется ещё старое название. В Википедии об этом посмотрите.

Название Пекин на самом деле не соответствует современному китайскому произношению. На официальном диалекте путунхуа (который в основном соответствует пекинской фонетической норме) название города произносится как Бэйцзин. В английском и некоторых других языках во второй половине 20 века название города было приведено в соответствие с реальным произношением и как правило записывается как Beijing. Однако в русском и во многих языках по-прежнему используется старое название (например, порт. Pequim, нидерл. Peking и т. д.). «Пекином» город впервые назвали французские миссионеры четыреста лет назад, когда в северных китайских диалектах ещё не произошёл сдвиг согласных, когда практически все звуки [kʲ] трансформировались в [tɕ]. В южных диалектах этого сдвига не произошло, и, например, в кантонском название столицы Китая до сих пор произносится как «Бакгин».

Так и должно быть

На путунхуа - основном диалекте - столица Поднебесной называется Бэйцзин. Русское используемое "Пекин" - отголосок давних времен, когда язык, еще не подвергся фонетической модернизации и был подхвачен нашими соотечественниками. Прошла реформа, а мы со своим русским названием решили не реформироваться. Аналогичным "старым" вариантом пользуются голландцы с немцами и португальцы с испанцами, а также близкие нам болгары, сербы, чехи и венгры с поляками. У китайцев ностальгическое отношение проявляется в названии Пекинского университета - Peking University.
С I по XV век Пекин назывался Бэйпин - Beiping 北平. Данное сочетание переводится как "северное спокойствие". В первоначальном смысле подразумевалось значение "равнина", т. е. общее значение – "северная равнина".
До Бэйпина, во времена царства Янь Пекин называли Яньцзин - Yanjing 燕京, "столица Янь" либо 薊 Ji Цзы. В десятом столетии уже нашей эры с позволения представителей династии Цзинь в историю Пекина вмешиваются кидани (пиньин - Qidan), кочующие монголы. В период их расцвета государство киданей простиралось от Японского моря до Восточного Туркестана, и называлось империей. Правила империей основавшая ее династия Ляо, именно поэтому, как предполагается, Китай мы называем Китаем - государство киданей. И прижилось это название навечно, не смотря на то, что потом киданей уничтожили чжурчжени.
На территории современного Пекина кидани основали свою столицу в 938 году. Для киданей расположение Пекина было югом, потому и название они дали соответствующее – 南京 Наньцзин, южная столица. А в 1153 году пришли упомянутые чжурчжени, всех выгнали, а столицу переименовали в Чжунду 中都 - "центральная, срединная столица".
Потом пришли монголы. Не Ляо, другие, которые и к нам заходили. Короче, Чингисхан пришел. В 1215 году срединную сожгли дотла, а на место главы посадили хана Хубилай. У Хубилая были амбиции, посему центральную он переименовал в Даду - 大都 Dadu, "большая, великая столица". По-монгольски это звучало не менее пафосно – "ханбалык", великая резиденция хана.
Китайцы, разумеется, были против Хубилая, против Ханбалыка, через столетие основанная им династия пала, а оскорбленные китайцы разрушили Пекин и опять перенесли столицу на благословенный, не оскверненный копытами врага юг.
Через век обиды прошли, молодой император Юнлэ династии Мин опять вернул городу статус столицы и присвоил ему наконец-то имя Бэйцзин. В 1644 году Мин пала под напором маньчжуров, которые основали династию Цин. Столицу манчжуры сохранили, против названия ничего не имели, но на всякий случай дали и своё имя - Гэмун Хэцэн.
Потом ушли и манчжуров, после 1928 года столицу вновь перенесли в Нанкин, а Пекин переименовали в Бэйпин .А в 1937 пришли японцы - яростные консерваторы, которые до сих пор пользуются нереформированными иероглифами, вернули Пекину пекинское название. Но в 1945, после капитуляции Японии Пекин снова превратился в Бэйпин.
Постоянная смена названий достала китайцев, они разозлились и устроили гражданскую войну. По ходу войны столицу уже надежно закрепили в Пекине, а имя ему дали историческое, но по новой языковой моде – Бэйцзин.
Суть в другом – "бэйцзин" это все-таки не "пекин". Потому что "бэйцзин" - это название города в северном диалекте, который в настоящее время принят за основной. Мы же всё еще пользуемся старым, южным названием. Главное отличие северного наречия от южного заключается в том, что в северном при транскрипции звуки Г, К, Х не встречаются с И, Я, Ю, Е, ЙО (Ё), а только с А, Э, О, У, а в южном существуют и те, и другие звуки (гин и цзин, кин и цин и т. д.), но нет чистых звуков Б, Д и Г, а только П, Т, К и П', Т', К'. Т. е. происходит сдвиг согласных. Таким образом, когда мы говорим северное "бэйцзин"-beijing по-южному, мы получаем что-то, похожее на "пэкин".

Почему Стокгольм пишется "Стокгольм"??? Ведь на русском языке он называется Стекольна...

Потому что разные языки!!!