Подскажите пожалуйста как называется деревце и какой за ним уход?

Если живете в сухом либо в резко-континентальном климате, то вариант безнадежный

Кипарисовик.

Похоже, кипарисовик, сорт "Голдкрест". Теплолюбивый, в сад его нельзя. Это лавсона или горохоплодный можно
В комнате очень требователен к влажности воздуха, особенно когда жарко, от сухого гибнет. В идеале его держать на утепленном балконе.