3 свойства множества планов задачи линейного программирования, подскажите пожалуйста!!!

Для обоснования свойств задачи линейного программирования и методов ее решения приведем матричную форму записи канонической задачи:

(10.15)

при ограничениях

АХ = В, (10.16)

Х ³ 0, (10.17)

где

, ,

Теорема 10.1. Множество всех планов задачи линейного программирования выпукло ( если оно не пусто).

Доказательство.

Пусть и – два допустимых плана задачи (10.15)-(10.17). Тогда, и , .

Рассмотрим выпуклую линейную комбинацию , ,и покажем, что Х также является планом задачи. Действительно,

,

т. е. Х удовлетворяет (10.16). Но так как , ,то и, т. е. удовлетворяет и условию (10.17).

Таким образом, множество всех решений задачи линейного программирования является выпуклым (выпуклым многогранником или выпуклой многогранной областью), которое в дальнейшем будем называть многогранником решений.

Теорема 10.2. Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего минимального (максимального) значения в угловой точке многогранника решений. Если целевая функция принимает минимальное (максимальное) значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Доказательство. Предположим, что многогранник решений является ограниченным, имеющим конечное число угловых точек. Обозначим его через К. В К имеет вид многоугольника, изображенного на рисунке. Обозначим угловые точки К через ,, … , ,а оптимальный план через . Тогда для всех Х из К. Если - угловая точка, то первая часть теоремы доказана.