Что такое гипотеза Тёрстона и гипотеза Паункаре
Гипотеза Пуанкаре́-- доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом и подтверждена математическим сообществом в 2006 году, став первой из решённых задач тысячелетия.
Обобщённая гипотеза Пуанкаре-- утверждение о том, что всякое n-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n=3. К концу XX века этот случай оставался единственным не доказанным. Таким образом доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.
Схема доказательства тожее здесь: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Пуанкаре
Гипотеза Тёрстона это:
Теорема геометризации утверждает, что замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие, в котором любая вложенная сфера ограничивает шар, разрезается несжимающимися торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий.
Теорема геометризации для трёхмерных многообразий является аналогом теоремы униформизации для поверхностей. Она была предложена в виде гипотезы Уильямом Тёрстоном в 1982, и обобщает другие гипотезы, например, гипотезу Пуанкаре и гипотезу эллиптизации Тёрстона.
Используя поток Риччи, в 2002 году Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и в чаcтности доказать гипотезу Пуанкаре.
Текст отсюда: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1464841
Еще в XIX веке было известно, что если любую замкнутую петлю, лежащую на двумерной поверхности, можно стянуть в одну точку, то такую поверхность легко превратить в сферу. Так, поверхность воздушного шарика удастся трансформировать в сферу, а поверхность бублика – нет. Легко вообразить себе петлю, которая в случае с бубликом не стянется в одну точку. Достаточно лишь опоясать бублик петлей и даже если мы крепко крепко стянем резиновый бублик ниткой, всё равно минимум одна точка не будет принадлежать стянувшей его петле.
Гипотеза, высказанная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, гласит, что аналогичное утверждение верно и для трехмерных многообразий.
Трёхмерная сфера - это поверхность четырёхмерного шара. Точно также как двумерная тряпка, собранная краями в одну точку – двумерная поверхность трехмерного шара. То есть сам шар трехмерный, а поверхность его естественно двумерная и она относится к классу "двумерных многообразий". Исходя из этого поверхность четырехмерного шара- трехмерна, пятимерного четырехмерна итд.
Петля из нитки тоже "многообразие". То есть любая клякса в топологии – "многообразие".
"Гомеоморфно" значит, что любую точку одного пространства взаимно однозначно и взаимно непрерывное можно отобразить на другом пространстве. Это не означает равенство, как в математике, но что-то похожее. "Кружка с ручкой" гомеоморфна "бублику" с точки зрения топологии — это так.
Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.
Итак, что даёт, на первый взгляд, бесполезное знание того, что теория Пуанкаре доказана? Самое очевидное, что "четырехмерный шар" удивительным образом походит на четырехмерное пространство-время Минковского. В котором мы с вами имеем честь прозябать нашу бесполезную жизнь. А его "трехмерная поверхность" собственно всё, что нас с вами окружает и это уже не просто притянутый за уши "антропный принцип" от которого воротит любого нормального учёного, а – доказанный научный факт.
Перельман доказал геометризации Тёрстона (их 8 штук) они описывают вообще все трехмерные многообразия. В эти геометрии входит Лобачевский, Риман, Эвклид итд. По типу конструктора Лего из 8 ми деталек лепится все что хочешь. А доказательство гипотезы Пуанкаре побочно получилось. Так как эта гипотеза частный случай геометрий Тёрнстона. Это первое. Второе. Потоки Риччи нужны для того чтобы построить уравнения движения, как всё это происходит. В движении. Уравнения ясно дело- дифференциальные. Но от их сложности даже у спецов "уши отваливаются" Перельман включил в способ решения -уравнения из термодинамики. Т. е. использовал теплоту в топологии. Более подробно можно поискать в ютубе
В. В. Успенский - От Пуанкаре до Перельмана
или Vladimir Itenberg Беседы о математике Топология.
Это вопросы к Перельману ему удалось доказать гипотезу Тёрстона, и доказать гипотезу Пуанкаре.