Какого спряжения глагол КАТАТЬСЯ?

Это глагол ПЕРВОГО спряжения.

Спряжение глаголов определяются двумя способами:
★ первый способ – по личным окончаниям – используется при определении спряжения у глаголов С УДАРНЫМИ ЛИЧНЫМИ ОКОНЧАНИЯМИ;
★ второй – по концовке неопределённой формы – при определении спряжения у глаголов С БЕЗУДАРНЫМИ ЛИЧНЫМИ ОКОНЧАНИЯМИ.

Если глагол для определения спряжения дан в форме ИНФИНИТИВА, не торопимся по его концовке определять тип спряжения: можем ошибиться, например, глаголы, пожить, загнить, перелить и пр. на -ИТЬ, но они 1-го спряжения, а глаголы шуметь, кричать, мычать, гореть, греметь, шипеть и пр. на -ЕТЬ и -АТЬ, но они 2-го спряжения. Так что сначала проверим, ударные или безударные окончания у глагола КАТАТЬСЯ, для чего, как рекомендуют учебники, поставим глагол в форму 3-го лица множественного числа: что делать? КАТАТЬСЯ – они что делают? КАТА... ТСЯ (Ю или Я в безударном положении, понять не каждый может).

Вот когда мы убедились, что личные окончания у глагола КАТАТЬСЯ безударные, только тогда отмечаем, что этот глагол оканчивается на -АТЬ (постфикс -СЯ не учитываем), следовательно, он 1-го спряжения.

Таким образом, если личные окончания глаголов безударные, то смотрим, на что оканчивается инфинитив, а правило должны знать наизусть. Вот оно:

★ Ко 2-му спряжению относятся все глаголы на -ИТЬ, кроме БРИТЬ, СТЕЛИТЬ, ЗИЖДИТЬСЯ и производных от них, а также 11 глаголов-исключений: 4 – на -АТЬ и 7 – на -ЕТЬ (гнать, дышать, держать, обидеть, слышать, видеть, ненавидеть, зависеть, терпеть, смотреть, вертеть) и производные от них.
★ Все остальные глаголы + БРИТЬ, СТЕЛИТЬ, ЗИЖДИТЬСЯ и производных от них относятся к 1-му спряжению.