Как пишется по-новому стилю или поновому стилю?

По новому стилю .

через тире

учитель заставил нас переписывать по-новому те слова, которые были написаны. (значение тут - заново, сначала, повторно. По-новому - это наречие).
Котенок прошелся по новому пиджаку грязными лапами. (значение тут - прилагательное: по пиджаку какому? - по новому).

Теперь смотрим и находим отличия: В первом предложении "по-новому" пишется через дефис, так как это наречие (как?), а «по» с наречиями на -ому, -ему, -цки, -ски, -ьи пишется только через дефис; Во втором - "по новому" пишется раздельно, так как "новому" (какому?) - прилагательное с предлогом "по", а предлоги со словами пишутся раздельно