В чем разница между failure и failing?

Failure преимущественно используется в сравнении с Fail (как существительное) .
Из реальной речи есть, пожалуй, только два частых примера его использования:
1 - в значения провала на экзамене.
Что-нибудь такое: I got a FAIL in Math. Такое употребление встречается на каждом шагу, вернее, на каждом провале).
2 - в сочетании с WITHOUT: в том смысле, что что-то осуществляется ВСЕГДА, без пропусков, например:
I visit this place every Monday WITHOUT FAIL.
Что касается, FAILURE, то его основные значения провал (как результат какой-то деятельности) ; неудачное начинание (либо даже сам неудачный "начинатель"); отказ работы либо какого-то механизма, либо органа (сердца, например) и разорение/банкротство коммерческой организации.

Дополнение:

а) общ. терпеть неудачу (в делах и т. п.), не иметь успеха; не суметь, быть не в состоянии; оказаться неспособным (сделать что-л.)

to fail in life — быть неудачником (в жизни)

We failed to arrive in time. — Нам не удалось приехать вовремя.
б) общ. не сбываться, не удаваться

All our plans failed. — Все наши планы рухнули.
в) общ. провалиться (на экзаменах, тестах, интервью и т. п.); завалить (какой-л. экзамен); провалить (кого-л. на экзамене)

to fail a student on an examination — завалить [провалить] студента на экзамене

She failed her exams. — Она завалила экзамены, она провалилась на экзаменах.
г) общ. не исполнить, не сделать; подвести

He failed me at the last minute. — Он подвел меня в последнюю минуту.

He failed to keep his word. — Он не сдержал слова.
2)
а) общ. быть недостаточным, не хватать

words fail me — я не нахожу слов, мне не хватает слов
б) общ. испытывать недостаток (в чем-л.)

I fail words to express my thanks. — У меня нет слов, чтобы выразить благодарность.
в) общ. уменьшаться в количестве; кончаться, иссякать

Our water supply has failed. — У нас кончился запас воды, нам не хватило воды.
3) общ. слабеть, ослабевать; терять силу

The wind failed. — Ветер стих.
4) общ. переставать действовать, выходить из строя

The engine failed unexpectedly. — Двигатель отказал неожиданно.
5) эк., юр. обанкротиться (о фирме или физическом лице), стать неплатежеспособным

The company failed because of cost overruns and probable fraud. — Компания обанкротилась из-за перерасходов и предполагаемого мошенничества.