При смене паспорта прописка ставится автоматически? или нужно чтобы владелец квартиры меня снова прописал?

Да, автоматически..., т. е. без подачи повторного Заявления о постановке на рег. учет и без привлечения владельца квартиры.
Просто при замене паспорта в нем производятся отметки о регистрации гражданина и снятии его с рег. учета по месту жительства на основании данных о рег. учете из заменяемого паспорта.
При этом в паспортах, выдаваемых гражданам в связи с заменой, в оттиске штампа о регистрации по месту жительства проставляется первоначальная дата регистрации по данному месту жительства.
А при оформлении паспорта НЕ по месту жительства в оттиске штампа о регистрации по месту жительства проставляются реквизиты подразделения, осуществившего регистрацию, и дата регистрации по указанному месту жительства.

Источник - п. 90.1 "Административного регламента ФМС ...по выдаче и замене паспорта гражданина РФ, удостоверяющего личность гражданина РФ на территории РФ", утв. Приказом ФМС России от 30.11.2012 N 391 в ред. от 02.02.2015.