Поясните мне пожалуйста человеческим языком, что такое модуль в математике, и, главное, зачем он нужен?

Модуль для целого числа - это операция "убирания минуса", и действительно, непонятно, где человек может ее применить. А для формальных алгоритмов ЭВМ она удобна, особенно, если под знаком модуля стоит не конкретное число, а промежуточный результат, выражение (с иксами и игреками). Или если в пространстве нужно вычислить длину отрезка между двумя точками с любыми (отрицательными) координатами - длина отрезка не может быть отрицательна - и дальше оперировать этой величиной. Также модуль нужен при операциях с логарифмами. Есть еще модуль комплексного числа, но это совсем другое понятие. При составлении многошаговых и циклических алгоритмов скорость и точность выполнения единичной операции приобретает значение, и в ряде случаев, чтобы сравнить два числа, проще применить операцию взятия модуля, а в других случаях нет.