При наличии наследников первой очереди, наследники второй очереди не могут наследовать.
Квартира разделена на 2 доли. Доля №1 - принадлежала внуку, соответственно она по наследству передается его жене и детям. Доля №2 - принадлежала бабушке и по наследству передается сыну, если нет иных наследников первой очереди.
Квартира находится в долевой собственности. Собственники совместно ей владеют и распоряжаются. Если не могут договориться, то продавать и делить деньги. Если один собственник отказывает продать, то второй собственник через суд может требовать компенсации.
Если внук может доказать вложения в квартиру - ремонт и т. п. - причем необходимо доказать, что бабушка не компенсировала эти расходы и они были сделаны недавно, в пределах срока исковой давности - то имеет право предъявить это требование к наследнику, т. е. к сыну. Но это будет сложно.
Но для операций с долями необходимо, чтобы сын пошел и восстановил срок. О восстановлении срока для принятия наследства можете почитать здесь "Восстанавливаем срок для принятия наследства"
https://socpravo.ru/vosstanavlivaem-srok-dlya-prinyatiya-nasledstva/А по поводу заявления - это простое письменное заявление к нотариусу, типа "Просим Вас подтвердить информацию, обращался ли такой-то с заявлением". Только смысл Вам в этой информации? Сыну есть смысл - восстановить срок и оформить документы. Вам - не видим смысла.
Как только наследник второй-третьей очереди заявит о своем праве на наследство - нотариус уведомит наследников первой очереди и предложит им вступить в наследство. Если наследник первой очереди откажется от принятия наследства, только тогда будут рассматриваться наследники иных очередей.