Можно ли получить шенгенскую визу студенту-иностранцу в Москве?

Ну, я - не иностранный студент, у меня подобного опыта нет, но собрать стандартный пакет документов и присовокупить к нему доказательства легального пребывания в РФ?...

Можно, если все Ваши документы будут полностью соответствовать требованиям консульства нужной Вам страны Шенгенской зоны.

Нет, нельзя. Иностранные посольства в Москве работают только с гражданами РФ или с гражданами тех стран, с которыми есть специальные соглашения и нет в них своих посольств. Например граждане Таджикистана или Киргизии могут получить визу Австралии в Москве, т. к. этого посольства на территории этих стран нет. Вам, скорее всего, придется оформлять визу в посольстве иностранного государства в своей стране.

Можно.
Виза в Германию - https://visainworld.ru/vizy/germanija/