Зачем нужно дискретное преобразование Фурье?

Оно нужно для компьютерного анализа реальных сигналов.
Чтоб компьютер понмал, что за сигнал обрабатывается, этот сигнал нужно предварительно перевести в цифровую форму. То есть заменить непрерывный сигнал на последовательность дискретных отсчётов (взятых в фиксированные моменты времени и представленными с ограниченной точностью, в зависимости от разрядности АЦП) . То есть ещё раз: НЕПРЕРЫВНЫЙ сигнал, который может принимать ПРОИЗВОЛЬНЫЕ значения (в пределах некоторого диапазона) преобразуется в ДИСКРЕТНЫЙ и по времени, и по уровням сигнал. И вот для преобразования такого сигнала в спектр и используется дискретное преобразование Фурье. Там есть своя специфика, связанная с минимизацией погрешности, неизбежно возникающей из-за отличия дискретного (цифрового) и исходного (аналогового) сигналов и конечной точности аналого-цифрового преобразования.
Дополнительное ограничение (ну или не ограничение, а общепринятый подходд) : размерность массива данных для такого преобразования чаще всего выбирается равной степени двойки, т. е. 2048, 4096, 8192 и т. д. При этом сильно упрощается программа, реализующая само преобразование. Такая разновидность дискретного преобразования Фурье называется быстрым преобразованием Фурье (БПФ) , и выпускаются даже аппаратрые микросхемы для его реализации.