нужно ли письменное соглашение родителей, что бы поехать в другой город на поезде одному. мне 14.

В пределах РФ не нужно.
Главное, не забывать про комендантский час.

Не нужно, если передвигаться вы будете по России.

Не нужно, в пределах России. За границу - нужно

нет

Нет, не нужно. Нужно только получить их устное согласие (иначе подадут в розыск) и заранее решить вопрос с тем, где Вы в этом самом городе будете жить, поскольку если у Вас там нет родственников, то Вам в любой отеле или хостеле имеют полное право отказать в размещении.