Какой падеж? - На дому

На дому- «второй предложный», П2 .
Имена существительные мужского и среднего рода обычно оканчиваются на -е (столе, окне, отце). Однако некоторые неодушевлённые существительные мужского рода имеют ещё параллельное окончание -у, -ю (так называемый «второй предложный», П2).
Это окончание встречается после предлогов в и на с различными обстоятельственными значениями (при этом наблюдается перенос ударения на окончание)

В некоторых случаях различие окончаний связано с изменением значений: на дому (у себя дома).
В случаях формы с окончанием -у, -ю более свойственны разговорной и профессиональной речи.