В каких случаях употребляется "не кто", а в каких "никто"?

Ну разве что "не кто, а что".

Некто спросил у Артёма:
- Артём, а кто из мужчин занимался с вами сексом?
- Никто! - испуганно ответил Артём.
- Хорошо, а кто это сидит у вас на голове, Артём?
- Не кто, а что. Это моя шапка, - ответил Артём слегка смущённым голосом.

Некто - кто-то, никто - ни один

Словарь в помощь - там всё доступно объяснено.