Срочно! Помогите !!Как найти углы ?

В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри треугольника.
Если аккуратно нарисовать чертёж, провести высоты АА1 и ВВ1, то получится примерно так:



Точка Н - это основание высоты треугольника А1В1С, опущенной из вершины А1.

Теперь решение задачи. Может, есть и более простой способ, не связанный с тригонометрическими отношениями и теоремой синусов, а основанный, например, на подобии треугольников, но я нашёл вот такой.

Прежде всего, элементарно находим угол при вершине С из основного свойства треугольника:

γ= 180° - (α + β),

где α и β - углы при вершинах А и В в треугольнике АВС.

Будем считать, что все три угла этого треугольника известны.

Таким образом, один из искомых углов треугольника А1В1С - угол при вершине С - известен. Он равен γ.

Выразим теперь все линейные элементы на чертеже через сторону треугольника АС

Из прямоугольного треугольника АА1С найдём А1С = АС*cos γ.

Из прямоугольного треугольника А1НС найдём НС = А1С*cos γ = АС*cos^2 γ
и А1Н = А1С*sin γ = АС*sin γ*cos γ.

Теперь по теореме синусов составим пропорцию: ВС / АС = sin α / sin β, откуда найдём ВС = АС*sin α / sin β.

Из прямоугольного треугольника ВВ1С найдём В1С = ВС*cos γ = АС*sin α * cos γ / sin β.

Зная В1С и НС найдём В1Н = В1С - НС = АС*sin α * cos γ / sin β - АС*cos^2 γ = АС*cos γ * (sin α / sin β - cos γ).

Зная В1Н и А1Н в прямоугольном треугольникае А1В1Н найдём угол при вершине В1:

tg(А1В1Н) = А1Н / В1Н = АС*sin γ*cos γ / АС*cos γ * (sin α / sin β - cos γ).

Сокращая на АС*cos γ и обозначая угол А1В1Н = φ, получаем:

tg φ = sin γ / (sin α / sin β - cos γ)

Или, умножая числитель и знаменатель дроби на sin β:

tg φ = sin γ * sin β / (sin α - sin β * cos γ).

Это - один из других искомых углов в треугольнике А1В1С - при вершине В1. Выражение для него можно оставить в виде тангенса, можно выразить его явно, через арктангенс, а можно ещё подставить вместо γ его выражение через известные углы α и β и, учитывая, что

sin γ = sin(180° - (α + β)) = sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β,

cos γ = cos(180° - (α + β)) = - cos (α + β) = -(cos α * cos β - sin α * sin β),

написать так: φ = arctg ((sin α * cos β + cos α * sin β) * sin β / (sin α + sin β * (cos α * cos β - sin α * sin β)))

или, деля на cos α:

φ = arctg (sin β * (tg α * cos β + sin β) / (tg α + sin β * (cos β - tg α * sin β)))

Это - довольно сложное выражение, и лучше записать ответ через tg φ и γ.

Третий искомый угол находится через основное свойство треугольника.

Итак, искомые углы треугольника А1В1С при вершинах С, В1 и А1 равны: γ, φ и 180° - (γ + φ), где

γ= 180° - (α + β),

tg φ = sin γ / (sin α / sin β - cos γ).