Почему можно умножать на -1 неравенства?
Ведь если ты умножаешь к примеру 2>1 на минус 1, то получается -2<-1, да, это верное неравенство, но ведь оно же другое, почему оно подходит к решению?
Вопрос в том, почему неравенство меняет знак при умножении на отрицательное число?
Потому что неравенство определяет, какое из чисел на координатной оси расположено правее, а какое - левее. То, которое правее - больше. При умножении на (-1) положительное число становится отрицательным, и для таких чисел на координатной оси, в отличие от положительных, левее расположено то, модуль которого больше.
Модуль - это расстояние до точки 0. У положительных чисел чем больше модуль, тем число расположено правее и тем оно больше. У отрицательных - наоборот. В частности, при умножении на (-1) модули обоих частей сохраняются, но то число, которое раньше лежало правее другого числа, т. е. было больше его, теперь расположено левее, т. е. стало меньше. Поэтому смысл неравенства при умножении на отрицательное число изменяется на противоположный.
Можно доказать и по-другому на примере неравенства 2>1. Если это так, то 1<2 - это следует из определения понятий "больше" и "меньше". Вообще если a > b, то b < a, поскольку из того, что a лежит на координатной оси правее, чем b, следует то, что b лежит левее, чем a. Далее в неравенстве можно переносить с противоположным знаком слагаемые из одной части в другую. В неравенстве b < a перенесём b направо и a - налево, у обеих переменных изменится знак. Получим -a < -b. Поэтому из того, что a > b следует, что -a < -b, в частности, из неравенства 2 > 1 следует неравенство -2 < -1. Поэтому неравенство можно умножать на (-1), при этом изменяется смысл неравенства на противоположный. В равенствах этого не происходит, потому что смысл равенства как бы противоположен самому себе. Да, при этом получается другое неравенство, другого смысла, но оно ведь верное!
Вопрос весьма глубокий.
На школьном уровне - это правило. Умножаешь обе чести неравенства на отрицательное число, смени знак неравенства на противоположный. Подтверждается конкретными примерами.
На более серьезном уровне это выводится из аксиом арифметики Пеано (или ей равносильно системы аксиом). Вы готовы рассуждать на этом уровне?
Потому что неравенства 2*x>1 и -2*x<-1 эквивалентны для находжения x.
В неравенствах без неизвесных умножение на -1 дает совершенно другой смысл неравенству.
И? Знаки неравенства - это такие же знаки, как и знаки равенства, и всё,что они делают - это показывают отношения между числами. Если ты умножишь на какое-то число, например, обе части уравнения, ты проделаешь, по сути, то же самое - уравнение-то уже другое. Тут суть в том, чтобы путём преобразований из одного отношения между выражениями получить другое, нужное. Для уравнения это из равенства двух выражений найти равенство для переменной, для неравенств - из неравенства определённого вида для двух выражений найти отношения других выражений.