Что случится, если упасть в туннель, проходящий через центр Земли? (Сопротивлением воздуха и силой Кориолиса пренебречь)

Я не знаю, как у Перельмана, но простое решение задачи можно получить из соображений симметрии. Предположим для простоты, что Земля - шар идеальной формы и разделим его (мысленно) на два полушария. Тогда, если Вы упадёте в "сквозной" туннель, то (совершенно очевидно) сначала будете падать под влиянием силы тяжести второй половины шара (которое "снизу"). В центре такого идеального земного шара сила гравитации равна нулю, но вы уже приобрели некий импульс - и, следовательно, пролетаете мимо. По мере движения дальше "вниз" по туннелю Вас будет тормозить гравитационное притяжение "верхнего" полушария. Из соображений симметрии очевидно, что приобретённая Вами скорость в конце тоннеля обратится в ноль. Далее возможны варианты. Если Вы не успеете опомнится, то сразу же снова полетите "вниз" - под действием силы тяжести "нижнего" полушария - и (как верно отметила White Rabbit) , будете бесконечно колебаться. Если туннель узкий и Вы догадаетесь раскинуть руки - Вы застрянете "наверху", таким образом совершив "сквозное" путешествие через центр Земли :) Следует отметить, что на самом деле наша планета - не идеальный, а несколько деформированный (в частности, сплюснутый) шар. В этом случае простые соображения симметрии уже не работают и возможны разные отклонения от описанной выше идеальной ситуации. Грубо говоря, многое будет зависеть от того, в в каком месте "прорыт" Ваш воображаемый туннель.. .