можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?

Ну вроде нет, так как если 800 разделить на 6 на цело то получится 133, это число, всех чисел в промежутке от 1 до 800 которые делятся на 6, а необходимым условием того что бы сумма двух числе делилась на 6 является их одинаковая делимость на 6, то есть что бы и первое и второе число делилось на 6 либо, что бы и первое и второе число не делилось на 6, поэтому 133 числа которые делятся на 6 нужно разбить на пары с самими собой, а это невозможно из за того что 133 нечётное число, хотя может я где то туплю и всё неправильно.

это вам в олимпиаде дали, что ли? каждый день этот вопрос!

запишите числа в три колонки и подумайте

1,2,3
4,5,6,
...
799, 800

любое число натурального ряда представимо в одном из видов: 6к, (6к+1), (6к+2), (6к+3), (6к+4) и (6к+5), где к=0,1,2,...т. к. 800/6=133*6+2, то все числа от 1 до 800 можно разбить на 134 группы по шесть чисел (за исключением первой, где 6*0=0 отбрасываем и последней, где всего три числа. вот первые и последние группы:
при к=0; 1, 2, 3, 4, 5
при к=1 6, 7, 8, 9, 10, 11
при к=2 12, 13, 14, 15, 16,
---------------------------------------------
при к=132 792,793,794,795,796,797
при к=133 798,799,800
теперь легко подсчитать что чисел вида 6к всего 133, вида (6к+1) - 134, вида (6к+2) - 134, вида (6к+3) - 133, вида (6к+4) - 133 и вида (6к+5) - 133. теперь из них образуем требуемые пары. 66 пар вида 2*6к (одно число остается без пары) 133 пары из чисел (6к+1) и (6к+5) (одно число (6к+1) остается без пары, 133 пары из чисел (6к+2) и (6к+4) (одно число (6к+2) остается без пары и 66 пар вида 2*(6к+3) (одно число (6к+3) остается без пары. итак мы имеем 398 пар чисел сумма которых делится на 6 и еще четыре числа: 6к, (6к+1), (6к+2), (6к+3). из этих чисел образовать заданные пары не возможно.