Почему дрожь пишется с мягким знаком?

Потому что это имя существительное женского рода 3-го склонения единственного числа, которое оканчиваются на шипящую. Во всех подобных словах в конце пишеться мягкий знак: ночь, дочь, мышь, рожь, дрожь и т. д.