Несколько вопросов по линалу и матанализу. комплексные числа, производные.

сразу скажу, учусь скорее в гуманитарном универе, чем в физ-мате. но математику люблю. так что вопросы могут быть глупыми, но прошу учитывать, что они задаются любителем, и не сильно кидаться тапками :)

1. комплексные числа.

насколько я понимаю, действительные числа -- это числа на координатной прямой, т. е. если их отмечать графически, любая точка на координатной прямой будет иметь лишь одну координату -- что, в принципе, логично. пусть любая точка М имеет координату а, а точка О -- координату 0, тогда |ОМ|=|sqrt(a^2)|=|a|, что тоже логично.

комплексные числа, в свою очередь, имеют 2 координаты: на оси действительных чисел Re и на оси мнимых чисел Im, а само комплексное число z имеет запись: а) z=a+bi -- алгебраическая, где i^2=-1; б) z=|z|(cosß+i*sinß) -- тригонометрическая, где |z|=sqrt(a^2+b^2), ß=arcsin(b/|z|)=arccos(a/|z|): в) z=|z|e^(ßi) -- показательная, где e^(ßi)=(cosß+i*sinß).

первый вопрос по комплексным числам: существует ли матричная форма записи комплексного числа, т. е. можно ли комплексное число z записать как матрицу: Z(a;b) -- будет ли это справедливо? задаю этот вопрос, потому что видел запись мнимой единицы как i(0;1) : (0;1)(0;1) = (-1;0) -- и этим доказывалось, что число i существует. я так и не смог понять, как это выводится. если понимать запись i(0;1) как матрицу i с 1 строкой и 2 столбцами, то результатом возведения её в квадрат будет матрица с 1 строкой и 2 столбцами: с (с11:с12)=(0;1)(0;1), и тогда с11=0*0+1*0=0, c12=1*0+1*1=1, т. е. (0;1)(0;1)=(0;1) не= (-1;0). в общем, как выводится формула (0;1)(0;1)=(-1;0)?

второй вопрос. пусть действительное число z1=a, комплексное число z2=a+bi, i^2=-1. существуют ли числа вида z3=a+bi+cj, z4=a+bi+cj+dk, zn=a+bi+cj+dk+...+∂(f-1)+ßf -- т. е. числа, имеющие координаты не только в одномерном (действительные) и двумерном (комплексные) пространстве, но и в 3-/4-/5-.../n-мерном пространстве, и если есть, то какой раздел математике изучает это, можно ли описать свойства не только мнимой единицы i, но и j,k,...n-1,n, можно ли описать нечетные множители, т. е. в записи комплексного числа z=a1+а2*i, i является множителем при втором слагаемом (вариант "перестановки слагаемых" (z=a2*i+a1) я не рассматриваю), то оно имеет свойство i^2=-1. будет ли в числе z=a1+a2*i+a3*j число j обладать какими-либо свойствами, или справедлива запись zn=a+bi+c+dk+...+∂+ßf, если n -- четное число?

2. производные. этот вопрос короче и конкретнее. пусть fn(x) -- функция n-й степени зависимости f(x) от x. пусть f5(x) = ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f, тогда производная первой степени f5'(x) = 5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e, производная второй степени f5''(x)=20x^3+12bx^2+6cx+2d. Вопрос такой: могу ли я высчитать сразу f5''(x), не высчитывая f5'(x)? просто при работе с производными какой-нибудь 42-й степени это будет... долговато)