Приведение к каноническому виду. Помогите решить, пожалуйста!

Question

Приведение к каноническому виду. Помогите решить, пожалуйста!

Kryptogirl Профи (833), на голосовании 7 лет назад

а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму f(x1, x2)=4x1^2+x2^2–4x1x2 к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму f(x1, x2, x3)= 2x1^2+x2
^2+3x3^2+2x1x2-2x1x3-2x2x3.

Answer 1

Шаг №1. Определение стационарных точек.
Найдем экстремум функции F(X) = -2*x12+6*x22-8*x1*x2, используя функцию Лагранжа:

где F(X) - целевая функция вектора X
φi(X) - ограничения в неявном виде (i=1..n)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:
F(X) = -2*x12+6*x22-8*x1*x2
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
φ1(X) = x1x2 = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L(X, λ) = -2*x12+6*x22-8*x1*x2 + λ*(x1x2-0)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = -8*x2 = 0
∂L/∂x2 = -8*x1 = 0
∂L/∂λ = x1x2 = 0
Решив данную систему, получаем стационарные точки X0.
Чтобы получить ответ (значения переменных x1,x2) нажмите кнопку Решение системы уравнений.
Шаг №2. Определение типа экстремума в стационарных точках.
Если количество стационарных точек больше одной, то для определения типа экстремума необходимо вычислить матрицу Гессе (либо значение функции в каждой из точек).
Также можно посмотреть решение аналогичного примера здесь Методом Лагранжа