Произведение растворимости. Я понимаю, что чем меньше произведение растворимости, то из раствора быстрее выпадет осадок.

почти так.
только этот пример несколько неудачный из-за его сложности.
его нужно рассматривать шире.
сначала осадка иодида свинца не будет.
большой избыток ионов иода при добавлении первых каплель нитрата свинца приведёт к тому, что едва образовавшийся иодид свинца тут же растворится, поскольку реакция пойдёт дальше, до растворимых иодидных комплексов [PbI₃]⁻ и [PbI₄]²⁻
лишь при дальнейшем добавлении нитрата свинца начнётся выпадение осадка PbI₂.

с хлорид-ионом свинец (II) также образует растворимые комплексы.

для понимания ПР давай рассмотрим ситуацию с другой стороны.
допустим, к р-ру нитрата свинца добавили немного хлорида натрия.
(видишь разницу, что к чему добавили)
Выпал хлорид свинца.
Затем добавили иодид натрия.
Иодид заменит хлорид в осадке, вытеснив его обратно в раствор.