Функция ...убывает/возрастает на R

Пусть х1 и х2 - любые действительные числа (из множества R), удовлетворяющие единственному условию х2 > х1

Тогда функция y = f(x) называется:

- убывающей на R, если при этом: f(x2) < f(x1);
- возрастающей на R, если при этом: f(x2) > f(x1).

Иначе говоря, нужно взять разность f(x2) - f(x1) и посмотреть знак этой разности. Если он отрицателен, функция убывает на R, а если положителен, то возрастает на R. Если ноль, то не убывает и не возрастает (к примеру, немонотонная).

Но это должно выполняться для любых х1 и х2 из области R (области действительных чисел), таких, что x2 > x1. Как только для какой-то пары таких чисел нарушается условие убывания функции, нельзя сказать, что функция убывает на R. С возрастанием - то же самое. Функция может при этом убывать / возрастать на каком-то другом промежутке, отличном от R, но на самом R убывать/возрастать не будет.

Ещё можно определить убывание и возрастание по знаку производной функции. Для этого нужно найти f ' (x), и решить к примеру неравенство f ' (x) < 0. Ответ составит промежуток, на котором функция убывает, при этом граничные точки, которые не попали в решение неравенства, нужно присоединить к этому промежутку, если только значения функции в этих точках существуют. Если промежуток состоит из нескольких изолированных промежутков, то было бы ошибкой считать, что функция убывает на объединении этих промежутков. Правильно сказать, что она убывает на каждом из этих промежутков.

То же самое - с возрастанием. Только неравенство при этом будет f '(x) > 0/

Иначе говоря, если знак производной на непрерывном промежутке отрицателен или положителен, функция убывает или, соответственно, возрастает на этом промежутке (с учётом присоединения к промежутку тех граничных точек, значение функции в которых существует). В частности, если этот промежуток - множество всех действительных чисел, то функция убывает/ возрастает на R.

Пример: f(x) = x^3. Докажем двумя разными способами, что эта функция возрастает на R.

Первый способ

Пусть х1 и х2 - любые действительные числа, такие, что х2 > х1. Составим разность f(x2) - f(x1) = x2^3 - x1^3. Разложим эту разность по формуле разности кубов: x2^3 - x1^3 = (x2 - x1)*(x1^2 + x1*x2 + x2^2).

По условию х2 > x1, значит первая скобка положительна. Вторая скобка положительна при любых х1 и х2. Докажем это так: x1^2 + x1*x2 + x2^2 = x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - x1*x2 (прибавили и отняли x1*x2) = (x1 + x2)^2 - x1*x2. Если произведение x1*x2 неотрицательно, то выражение x1^2 + x1*x2 + x2^2 тоже положительно, поскольку все слагаемые неотрицательны, причём x1 не равно х2 по условию, а если произведение x1*x2 отрицательно, то разность (x1 + x2)^2 - x1*x2 положительна (квадрат всегда неотрицателен, из него вычитаем отрицательное число). Итак, разность x2^3 - x1^3 положительна при всех х, таких, что x2 > x1, что и означает, что функция возрастает.

Второй способ. Найдём производную функции, либо по правилам нахождения производной, либо по таблице производных. Если f(x) = x^3, то f ' (x) = 3x^2. Видно, что f ' (x) >=0 при всех х из промежутка R, причём f ' (x) = 0 только при х = 0. Это значит, что функция возрастает на каждом из промежутков x < 0 и x > 0, а поскольку значение функции в граничной точке х = 0 существует, то эта точка присоединяется к промежутку возрастания. В этом случае можно объединить промежутки возрастания, поскольку это объединение даёт непрерывный промежуток R. Поэтому функция f(x) = x^3 возрастает на R.