Докажите, что при любых a и b хотя бы одно из уравнений x^2-2ax+ab=0 и x^2-2bx+ab=0 имеет решение.

Нужно выделять в обоих полные квадраты.
Первое уравнение записывается в виде: (х-а) ^2 = a^2 - a*b = a*(a-b)
Второе: (х-b)^2 = b^2 - a*b = b*(b-a)
Для того, чтобы эти уравнения имели решения, нужно, чтобы их правые части были неотрицательны.
Ну и рассматривай все возможные варианты:
a=b;
a > b, a > 0, b > 0;
a > b, a > 0, b < 0;
a > b, a < 0, b < 0;
a < b, a > 0, b > 0;
a < b; a < 0, b > 0;
a < b. a < 0, b < 0.
Элементарная проверка показывает, что во всех этих случаях правая часть хотя бы одного из уравнений неотрицательна, т. е. хотя бы одно из уравнений имеет решение.