Что значит слово "остепениться"?

Это значит "стать степенным". То есть рассудительным, серьёзным, ответственным. Другими словами - взяться за голову.

Где-то веке в девятнадцатом "Тебе пора остепениться" стало означать "Найди себе уже жену, наконец". Девятнадцатый век он такой, странный.

"Степенный" - это не от "степь", а от "степень". То есть это тот, кто всё делает по порядку (по степеням), как положено, одно за другим, не отвлекаясь, вдумчиво.

"Степень" родственно слову "ступень". Точнее, это то же самое слово, только через "у", а не через "е".

"Ступень" - от глагола "ступать".

"Ступать" - от слова "ступа", так раньше произносили слово "стопа".

"Стопа" - это то, на чём стоят. Дальнейшая этимология мутна и уходит корнями в индо-европейскую общность. Скажу только, что у английских слов "stop" и "stand" тот же корень.

Надеюсь, я исчерпывающе ответил на твой вопрос.