Объясните пожалуйста что такое число эпсилон и с чем его едят

ε (эпсилон) . Так в математике принято обозначать величину, которая принимает сколь угодно малое значение. И в вот этом определении бесконечно малой последовательности смысл как раз в том, что сколь бы малое ЭПСИЛОН мы не выбрали, можно найти такой кусок этой последовательности (т. е. указать такое N), что она потом уже за эту границу (плюс или минус эпсилон) не выберется.
A N(e) - это как раз такой номер N, начиная с которого соблюдается это условие (что не выберется) . Ясно, что для каждого эпсилона нужно своё N. Допустим, если a(N) = 1/N² и ε=0,01, то N = 10, а если взять ε=0,0001, то понадобится уже N=100.