Как правильно: ехать в лифте, или на лифте? Как правильно: подниматься в лифте, или на лифте?

Вы же внутри едете, а не сверху )) Значит в лифте.
Но, вообще-то, возможны оба предлога, в зависимости от того, что нужно подчеркнуть (способ передвижения или нахождение внутри).