Верно ли что последовательность пяти последних цифр степеней а) 6 б) 7 является а) переодической б) чисто переодической

Решение несложно.

1) Если в ряду чисел 6, 6^2, 6^3, ..последние 5 цифр повторятся хотя бы раз (скажем, у чисел 6^n и 6^m), то очевидно, что и следующая за ними пара чисел (6^(n+1) и 6^(m+1)) тоже будет оканчиваться на одинаковые пятерки цифр. И т. д. Т. е. достаточно одного совпадения - и вся последовательность будет периодической (начиная с первого числа, имеющего совпадение).

А совпадение непременно будет, ибо пятерок последних цифр всего ограниченное число вариантов (а именно, 10^5), а чисел в ряду бесконечно много. Так что после первых (10^5 + 1) чисел в ряду хотя бы одно совпадение уже найдется.

Итак, периодичность доказана. Причем это верно для степеней любого натурального числа a и любого (наперед заданного) количества последних цифр.

-----------------------------------------------
2) Чистая периодичность, т. е. периодичность, начиная с первого члена ряда.

Нужно проверить, найдется ли число 6^n, такое что оно совпадает (последними 5 цифрами) с первым числом ряда, т. е. с 6. Если такое число есть, то 6^n - 6 оканчивается на пять нулей, и значит, делится на 10^5. (Верно и обратное.)

Итак, вопрос сводится к следующему: может ли при некотором n число 6(6^n - 1) делится на N = 10^5? Очевидно, нет, т. к. 10 = 2*5, а число 6(6^n - 1) не поделится на 2^5 (т. к. 6^n - 1 нечетное число).

Значит, 6, 6^2, 6^3, ..-не чисто периодическая последовательность. Причем - для любого количества последних цифр, большего 1.

Рассмотрим 7^n - 7. Может ли оно при некотором n делиться на N = 10^5? Здесь выражение вида 7(7^n - 1) нам сходу этого не запрещает. Поступим иначе.

Возьмем два числа 7^n и 7^m с одинаковыми последними 5 цифрами (такие всегда найдутся, мы это доказали). Значит, их разность 7^m - 7^n = 7^m(7^k - 1) делится на N. А поскольку 7^m можно убрать (оно не делится на N), то 7^k - 1 делится на N - вот и нашли!

Итак, 7, 7^2, 7^3, ..-чисто периодическая последовательность. Причем - для любого количества последних цифр.