Вопрос про функцию y=arcsin(sinx).
Мы знаем что arcsin(sinx)=x, если x лежит в промежутке от -pi/2 до pi/2. У меня вопрос: Почему областью определения данной функции является множество всех действительных чисел? Возьмем, например, 50pi/3, этот угол не будет лежать в данном промежутке. И еще вопрос: Мы знаем, что все аркфункции не являются периодическими, тогда почему эта функция периодическая?
Функция y = arcsin(sin(x)) является суперпозицией функций y = arcsin(x) и y = sin(x),.
Суперпозиция двух функций - это применение одной функции к результату другой.
То есть применение функции arcsin(x) к РЕЗУЛЬТАТУ функции sin(x).
Областью определения для функции являются все значения аргумента, для которых функция существует.
Аргументом для функции arcsin(x) является РЕЗУЛЬТАТ функции sin(x).
Таким образом: все значения х, для которых РЕЗУЛЬТАТ функции sin(x) попадает в область определения функции arcsin(x), являются допустимыми для суперпозиции этих функций, а т. к. для любого действительного х -1<= sin(x) >=1, то есть попадает в область определения функции arcsin(x), то все действительные значения х и будут областью определения для суперпозиции arcsin(sin(x)).
Для суперпозиции двух функций существует
Теорема: Если ƒ(х) - произвольная функция, а g (х) - периодическая с периодом Т, то
функция ƒ(g(х)) также является периодической функцией с периодом Т. (доказательство тривиально)
То есть, y = arcsin(sin(x)) - периодическая функция с периодом T = 2*pi.
В примере arcsin(sin(50*pi/3)) = arcsin(sin(50*pi/3 ± 2*n*pi)) = arcsin(sin(50*pi/3 - 2*8*pi)) = arcsin(sin(2*pi/3)) = arcsin(sin(pi - 2*pi/3)) = arcsin(sin(pi/3)) = pi/3, то есть в промежутке от минус pi/2 до pi/2. Хотя ответ 50*pi/3 - тоже правильный, если учитывать ВСЕ значения функции arcsin(x) (это функция многозначная), а не только ее главное значение.
В общем случае у=(-1)^n*arcsin(х) + pi*n, где n = 0, ±1, ±2,...и ответ 50*pi/3 получается при n = 50.
Смотри, arcsin(x) имеет область определения от -1 до 1 включительно, а область значений от минус pi/2 до pi/2. Эта область определения является областью значений функции sin(x), которая имеет область определения от минус pi/2 ± 2*pi*n до pi/2 ± 2*pi*n, где n — целое число, то есть все действительные числа. Таким образом область определения функции arcsin(sin(x)) есть все действительные числа. После решения arcsin(sin(x)) = x нельзя забывать об области значений этой функции от минус pi/2 до pi/2! Например, arcsin(sin(2*pi/3)) = pi/3, а не 2*pi/3.
Функция y = arcsin(sin(x)) является суперпозицией функций y = arcsin(x) и y = sin(x),.
Суперпозиция двух функций - это применение одной функции к результату другой.
То есть применение функции arcsin(x) к РЕЗУЛЬТАТУ функции sin(x).
Областью определения для функции являются все значения аргумента, для которых функция существует.
Аргументом для функции arcsin(x) является РЕЗУЛЬТАТ функции sin(x).
Таким образом: все значения х, для которых РЕЗУЛЬТАТ функции sin(x) попадает в область определения функции arcsin(x), являются допустимыми для суперпозиции этих функций, а т. к. для любого действительного х -1<= sin(x) >=1, то есть попадает в область определения функции arcsin(x), то все действительные значения х и будут областью определения для суперпозиции arcsin(sin(x)).
Для суперпозиции двух функций существует
Теорема: Если ƒ(х) - произвольная функция, а g (х) - периодическая с периодом Т, то
функция ƒ(g(х)) также является периодической функцией с периодом Т. (доказательство тривиально)
То есть, y = arcsin(sin(x)) - периодическая функция с периодом T = 2*pi.
В примере arcsin(sin(50*pi/3)) = arcsin(sin(50*pi/3 ± 2*n*pi)) = arcsin(sin(50*pi/3 - 2*8*pi)) = arcsin(sin(2*pi/3)) = arcsin(sin(pi - 2*pi/3)) = arcsin(sin(pi/3)) = pi/3, то есть в промежутке от минус pi/2 до pi/2. Хотя ответ 50*pi/3 - тоже правильный, если учитывать ВСЕ значения функции arcsin(x) (это функция многозначная), а не только ее главное значение.
В общем случае у=(-1)^n*arcsin(х) + pi*n, где n = 0, ±1, ±2,...и ответ 50*pi/3 получается при n = 50.
СЛОЖНА
