Ответы Mail.ru
Образование
ВУЗы, Колледжи
Детские сады
Школы
Дополнительное образование
Образование за рубежом
Прочее образование
Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Задача '''
Пользователь удален
(11),
закрыт
15 лет назад
Натуральные числа a и b таковы, что а(в квадрате)+ab+1 делится на b(в квадрате)+ba+1. Докажите, что a=b.
Лучший ответ
hippie
(26190)
15 лет назад
Поскольку на b^2+ab+1 делится a^2+ab+1, то на это число делится также
(a-b)(a+b)=a^2-b^2=(a^2+ab+1)-(b^2+ab+1).
Но числа (a+b) и b^2+ab+1=b(a+b)+1 ---взаимно простые. Поэтому на b^2+ab+1 делится (a-b). Но |a-b| < b^2+ab+1. Следовательно
|(a-b)/(b^2+ab+1)| < 1.
Значит |a-b|=0, т. е. a=b.
(a-b)(a+b)=a^2-b^2=(a^2+ab+1)-(b^2+ab+1).
Но числа (a+b) и b^2+ab+1=b(a+b)+1 ---взаимно простые. Поэтому на b^2+ab+1 делится (a-b). Но |a-b| < b^2+ab+1. Следовательно
|(a-b)/(b^2+ab+1)| < 1.
Значит |a-b|=0, т. е. a=b.
Остальные ответы
Похожие вопросы