Как правильно написать Первый год МашенькЕ или Первый год МашенькИ? И почему, обоснуйте.

Зависит от контекста. Разные падежи -- разные окончания.
Пошёл первый год нашей (кому?) Машеньке. Дательный падеж. Существительные первого склонения с окончанием на -а в дательном падеже имеют окончание -е.
Первый год (кого?) Машеньки мы отметили на даче. Родительный падеж. Существительные первого склонения с окончанием на -а в родительном падеже имеют окончания -и, -ы.
А в словосочетании "первый год Машеньки" в окончании имени пишется буква "и". Потому что, как ни крути, а слово стоит в родительном падеже.
P.S. Вы правы.)