Происхождение названия Китай, China Если не ошибаюсь так называли Китай римляне (sina) как Элладу - Graecia(Греция), так?

中国

Китайцы называют свою страну Чжунго - 中国 - Zhōngguó - Срединное государство - с давних времен. Впервые это название появилось в Западной Чжоу (1045 до н. э. — 770 до н. э.) в Центральной равнине Китая, где еще 4000 лет назад начало образовываться поселение. Более точно - это означает центр территории, на которую распространялась власть императора - Центральная страна.

Вначале так называли территорию вокруг столицы, затем так называли княжества Западной Чжоу в противовес другим китайским княжествам, то есть 中国 означал определенный народ, нацию. Затем 中国 приобрел более политический смысл - уже захватившие северные земли Китая кочевые племена называли себя Чжунго, хотя китайцами собственно не являлись.

Теперь это название широко употребляется и в названии государства и в национальности "китаец".
天下
Изначально это название - Тянься - 天下 - tiānxià - Поднебесная - относилось к китайскому народу - ханьцам - в противоположность ко всему остальному миру. Это было в период династии Хань (206 год до н. э. — 220 н. э. ). В последствии распространилось на восточно-азиатский регион.

Буквально означает "普天之下" - pǔtiānzhīxià - под небом, весь мир, не подразумевая географических ограничений.

В центре - собственно китайский народ во главе с императором, живущий согласно этикета и закона. Синий круг - это иноземные подданные - вассалы или иноземные монархи, которые приносят дань императору.

Слово "China" происходит от санскритского слова Cīna (चीन), которое было переведено на персидский как Chīn (چین), и скорее всего происходит от названия китайской династии Цинь (221—206 до н. э.), но в более ранний период - когда Цинь была одним из самых западных княжеств в период правления династии Чжоу. Видимо это название принесли китайские купцы, путешествующие по шелковому пути. Слово Cīna встречается в древних индуистских писаниях, в т. ч. в Махабхарате (5 до н. э.).

Римляне писали это слово как Cina, которое затем стало China.

丝 - sī - шелк по китайски - по английски silk. Древние греки называли Китай Страной шелка - Серес (Σηρες) . Предполагают, что это название произошло от китайского слова "шелк". А от Σηρες уже произошло латинское слово «serica» — «шёлк».

Почему науку о Китае и всем китайском называют синологией? Откуда взялось это слово?
«Синэ» («Sinae») — название Южного Китая, которое использовали греки и римляне наряду с «Cina» («China»). Затем префикс sin- стал использоваться по отношению ко всему китайскому.

Наш вариант названия Китая происходит собственно от названия вовсе не китайского народа.
Кидане или китаи - это группа кочевых маньчжурских племен, которые в 907 году захватили Северный китай, образовав там свою династию Ляо . Следующие завоеватели тоже стали так называть эти земли. Отсюда произошло название Катай - Цветущая страна, - так называли Китай народы и племена, жившие между Китаем и Каспийским морем. Именно от этих народов европейцы и переняли название Катай, от которого видимо и пошло название Китай. Так что наш "Китай" не вполне "китайский")). До сих пор на Западе можно встретить "Катай", как поэтическое название Китая.